Statistik
2. Aufl. 2021
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Kapitel 5
S. 110 S. 111
5. Zufallsvariablen und ihre Verteilung
5.1 Grundbegriffe
Im vorigen Kapitel wurden Zufallsversuche betrachtet und Wahrscheinlichkeiten bestimmt, die zwischen 0 und 1 liegen und den Grad der Mutmaßung für die Ergebnisse von Ereignissen repräsentieren. Diese Überlegung wird nun erweitert.
[i]Zufallsvariable Eine Funktion X heißt Zufallsvariable, wenn sie bei gegebener Ergebnismenge Ω jedem Element von Ω eine reelle Zahl X(ω) zuordnet (vgl. Bomsdorf, 2002, S. 29). Der Funktionswert X(ω) bezeichnet eine Realisation der Zufallsvariablen X. Die Menge aller reellen Zahlen, die X(ω) annehmen kann, ist der Wertebereich WX von X. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert k annimmt, wird wie folgt geschrieben:
P(X = k) = P({ω ∈ Ω | X(ω) = k})(5.1)
Folgende Darstellungen gelten entsprechend:
X ≔ Anzahl „Kopf“ beim dreifachen Münzwurf
Ω = {ZZZ, KZZ, ZKZ, ZZK, KKZ, KZK, ZKK, KKK}
X(ω) = k mit WX = {0, 1, 2, 3}
[i]Diskrete und stetige Zufallsvariablen In diesem Beispiel ist der Wertebereich endlich und abzählbar. Es handelt sich − analog zur Definition eines diskreten Merkmals in der deskriptiven Statistik − um eine diskrete Zufallsvariable. Im Gegensatz dazu besitzt eine stetige Zufallsvariable einen kontinuierlichen Werteber...