Datenanalyse – Benford's law

Das Prüfungsgebiet „Angewandte Betriebswirtschaftslehre, Volkswirtschaftslehre“ umfasst in der Angewandten Betriebswirtschaftslehre gem. § 4 Abs. 3 WiPrPrüfV auch methodische Problemstellungen der externen Rechnungslegung, die immer häufiger auch Bestandteile in (mindestens) einer Aufsichtsarbeit des Prüfungsgebiets werden. In der 1. Aufsichtsarbeit vom 17.8.2021 wurde sich dabei dem Benford's law angenommen.

I. Einordnung

Der Einsatz von Datenanalysen eignet sich im gesamten Prüfungsprozess. Zur Identifizierung von Fehlerrisiken bieten sich dabei etwa Zeitreihen-, Struktur- und Trendanalysen an. Im Rahmen der Beurteilung des internen Kontrollsystems (IKS) sind sie hingegen besonders bei IT-gestützten Geschäftsprozessen geeignet. Auf Aussageebene stellen sie auf Transaktions-, Konten- und Abschlussebene eine Möglichkeit der Beurteilung der in der Rechnungslegung enthaltenen Aussagen dar. Hierbei können sie in Form von analytischen Prüfungshandlungen oder als Prüfung von Einzelsachverhalten wie auch im Rahmen von Stichprobenverfahren genutzt werden. Zuletzt unterstützen sie bei der Erkennung von Unregelmäßigkeiten (wie etwa im Rahmen der Beurteilung des Risikos von management override of controls).

IDW PH 9.3303 führt in seinen Anwendungshinweisen mehr als 80 exemplarische Datenanalysen auf. Eine davon ist die „Benford-Analyse“ (IDW PH 9.3303, Tz. 40). Sie beruht auf dem sog. Benford's law (Benfordsches Gesetz), welches der mathematischen Gesetzmäßigkeit folgt, wonach niedrigere Zahlenwerte einer Ziffernfolge mit bestimmter Länge an einer bestimmten Position wahrscheinlicher auftreten als entsprechend höhere Zahlenwerte. In einem realen Datensatz sind daher die Häufigkeiten einer bestimmten Ziffer an einer bestimmten Position (als erste, zweite, dritte oder x-te Ziffer des Werts der Zahl) nicht gleichverteilt.

Das Benford's law geht auf die Entdeckung von Simon Newcomb (1881) zur unterschiedlich starken Abnutzung von den in Büchern festgehaltenen Logarithmentafeln zurück. Diese Tafeln, die damals für wissenschaftliche Berechnungen herangezogen wurden, zeigten, dass die ersten Seiten einer stärkeren Abnutzung unterlagen (und damit häufiger genutzt wurden) als die Seiten, auf denen die Verteilungen für höhere Ziffern festgehalten wurden. Diese Feststellung wurde später durch Frank Benford (1938) aufgegriffen, der die Existenz einer logarithmischen Verteilungsfunktion für die Ziffernfolge bestätigte.

Die Wahrscheinlichkeit (W), dass die erste Ziffer ( Z ₁) einer Zahl gleich z ₁ ist, ergibt sich im Dezimalsystem gem. der Benford-Regel anhand folgender Formel:

Die logarithmische Verteilungsfunktion lässt sich dabei gut anhand der Übersicht erkennen, wenn die Wahrscheinlichkeiten des Vorkommens einer Ziffer (1-9) als erste Ziffer in einem Datensatz durch ihr Einsetzen in obige Gleichung ausgerechnet werden.

Mittlerweile wurde das Benford's law schon in vielen Bereichen nachgewiesen. Auch in deutschen Jahresabschlussdaten wurde seine Gültigkeit bestätigt. Vor diesem Hintergrund bietet es sich an, Datenbestände dahingehend zu analysieren, ob sie mit der Benford-Verteilung übereinstimmen. Andernfalls könnten Hinweise vorliegen, dass sie ggf. einer bewussten Beeinflussung – ggf. Manipulierung – unterlagen. Einsatzgebiete sind dabei u. a. die Forensik, Steuerprüfungen oder aber Analysen im Rahmen der Jahresabschlussprüfung. S. 187

II. Aufgabenstellung

a) Erläutern Sie, was man unter dem „Benford's law“ versteht. (5 Punkte)

b) Formal berechnet sich die Wahrscheinlichkeit (W) für die 1. Ziffer (Z) durch:

W(z) = log ₁₀ (1 + ¹/_z )

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ziffern 1 und 6 und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. (5 Punkte)

c) Angenommen, die nachfolgenden Daten erlauben die Anwendung des Benfordschen Gesetzes:

Überprüfen Sie auf der Grundlage Ihrer Ergebnisse aus b) für die Ziffern 1 und 6, ob die Daten manipuliert wurden und interpretieren Sie das Ergebnis. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise und legen Sie Ihren Rechenweg offen! (5 Punkte)

d) Nennen und erläutern Sie drei Voraussetzungen zur Anwendung des Benfordschen Gesetzes. (9 Punkte)

e) Erläutern Sie, was man unter Skaleninvarianz und Baseninvarianz in Bezug auf das Benfordsche Gesetz versteht. (6 Punkte)